康托展开

康托展开可以用来求一个 的任意排列的排名。

什么是排列的排名?

的所有排列按字典序排序,这个排列的位次就是它的排名。

时间复杂度?

康托展开可以在 的复杂度内求出一个排列的排名,在用到树状数组优化时可以做到

怎么实现?

因为排列是按字典序排名的,因此越靠前的数字优先级越高。也就是说如果两个排列的某一位之前的数字都相同,那么如果这一位如果不相同,就按这一位排序。

比如 的排列,,因为在第 位出现不同,则 的排名在 前面。

举个栗子

我们知道长为 的排列 大于以 为第一位的任何排列,以 为第一位的 的排列有 种。这是非常好理解的。但是我们对第二位的 而言,它大于 第一位与这个排列相同的,而这一位比 小的 所有排列。不过我们要注意的是,这一位不仅要比 小,还要满足没有在当前排列的前面出现过,不然统计就重复了。因此这一位为 ,第一位为 的所有排列都比它要小,数量为

按照这样统计下去,答案就是 。注意我们统计的是排名,因此最前面要

注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现,这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了。

逆康托展开

因为排列的排名和排列是一一对应的,所以康托展开满足双射关系,是可逆的。可以通过类似上面的过程倒推回来。

如果我们知道一个排列的排名,就可以推出这个排列。因为 是严格大于 的,所以可以认为对于长度为 的排列,排名 除以 向下取整就是有多少个数小于这个排列的第一位。

引用上面展开的例子

首先让 代表着有多少个排列比这个排列小。,有一个数小于它,所以第一位是

此时让排名减去 得到 ,有 个数小于它,去掉已经存在的 ,这一位是

,有一个数小于它,那么这一位就是

,有一个数小于它,这一位是剩下来的第二位,,剩下一位就是 。即

实际上我们得到了形如 有两个数小于它 这一结论,就知道它是当前第 个没有被选上的数,这里也可以用线段树维护,时间复杂度为