排序相关 STL

本页面将简要介绍 C 和 C++ 标准库中实现的排序算法。

除已说明的函数外,本页所列函数默认定义于头文件 <algorithm> 中。

qsort

参见:qsortstd::qsort

该函数为 C 标准库实现的 快速排序,定义在 <stdlib.h> 中。在 C++ 标准库里,该函数定义在 <cstdlib> 中。

qsort 与 bsearch 的比较函数

qsort 函数有四个参数:数组名、元素个数、元素大小、比较规则。其中,比较规则通过指定比较函数来实现,指定不同的比较函数可以实现不同的排序规则。

比较函数的参数限定为两个 const void 类型的指针。返回值规定为正数、负数和 0。

比较函数的一种示例写法为:

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int compare(const void *p1, const void *p2)  // int 类型数组的比较函数
{
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if (*a > *b)
    return 1;  // 返回正数表示 a 大于 b
  else if (*a < *b)
    return -1;  // 返回负数表示 a 小于 b
  else
    return 0;  // 返回 0 表示 a 与 b 等价
}

注意:返回值用两个元素相减代替正负数是一种典型的错误写法,因为这样可能会导致溢出错误。

以下是排序结构体的一个示例:

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struct eg  // 示例结构体
{
  int e;
  int g;
};

int compare(const void *p1,
            const void *p2)  // struct eg 类型数组的比较函数:按成员 e 排序
{
  struct eg *a = (struct eg *)p1;
  struct eg *b = (struct eg *)p2;
  if (a->e > b->e)
    return 1;  // 返回正数表示 a 大于 b
  else if (a->e < b->e)
    return -1;  // 返回负数表示 a 小于 b
  else
    return 0;  // 返回 0 表示 a 与 b 等价
}

这里也可以看出,等价不代表相等,只代表在此比较规则下两元素等价。

std::sort

参见:std::sort

用法:

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// a[0] .. a[n - 1] 为需要排序的数列
// 对 a 原地排序,将其按从小到大的顺序排列
std::sort(a, a + n);

// cmp 为自定义的比较函数
std::sort(a, a + n, cmp);

注意:sort 的比较函数的返回值是 true 和 false,用 true 和 false 表示两个元素的大小(先后)关系,这与 qsort 的三值比较函数的语义完全不同。具体内容详见上方给出的 sort 的文档。

如果要将 sort 简单改写为 qsort,维持排序顺序整体上不变(不考虑等价的元素),需要将返回 true 改为 - 1,返回 false 改为 1。

std::sort 函数是更常用的 C++ 库比较函数。该函数的最后一个参数为二元比较函数,未指定 cmp 函数时,默认按从小到大的顺序排序。

旧版 C++ 标准中仅要求它的 平均 时间复杂度达到 O(n\log n) 。C++11 标准以及后续标准要求它的 最坏 时间复杂度达到 O(n\log n)

C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法,具体实现取决于编译器。libstdc++libc++ 中的实现都使用了 内省排序

std::nth_element

参见:std::nth_element

用法:

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std::nth_element(first, nth, last);
std::nth_element(first, nth, last, cmp);

它重排 [first, last) 中的元素,使得 nth 所指向的元素被更改为 [first, last) 排好序后该位置会出现的元素。这个新的 nth 元素前的所有元素小于或等于新的 nth 元素后的所有元素。

实现算法是未完成的内省排序。

对于以上两种用法,C++ 标准要求它的平均时间复杂度为 O(n) ,其中 n 为 std::distance(first, last)

它常用于构建 K-D Tree

std::stable_sort

参见:std::stable_sort

用法:

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std::stable_sort(first, last);
std::stable_sort(first, last, cmp);

稳定排序,保证相等元素排序后的相对位置与原序列相同。

时间复杂度为 O(n\log (n)^2) ,当额外内存可用时,复杂度为 O(n\log n)

std::partial_sort

参见:std::partial_sort

用法:

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// mid = first + k
std::partial_sort(first, mid, last);
std::partial_sort(first, mid, last, cmp);

将序列中前 k 元素按 cmp 给定的顺序进行原地排序,后面的元素不保证顺序。未指定 cmp 函数时,默认按从小到大的顺序排序。

复杂度:约 (\mathit{last}-\mathit{first})\log(\mathit{mid}-\mathit{first}) 次应用 cmp

原理:

std::partial_sort 的思想是:对原始容器内区间为 [first, mid) 的元素执行 make_heap() 操作,构造一个大根堆,然后将 [mid, last) 中的每个元素和 first 进行比较,保证 first 内的元素为堆内的最大值。如果小于该最大值,则互换元素位置,并对 [first, mid) 内的元素进行调整,使其保持最大堆序。比较完之后,再对 [first, mid) 内的元素做一次对排序 sort_heap() 操作,使其按增序排列。注意,堆序和增序是不同的。

自定义比较

参见:运算符重载

内置类型(如 int)和用户定义的结构体允许定制调用 STL 排序函数时使用的比较函数。可以在调用该函数时,在最后一个参数中传入一个实现二元比较的函数。

对于用户定义的结构体,对其使用 STL 排序函数前必须定义至少一种关系运算符,或是在使用函数时提供二元比较函数。通常推荐定义 operator<1

示例:

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int a[1009], n = 10;
// ...
std::sort(a + 1, a + 1 + n);                  // 从小到大排序
std::sort(a + 1, a + 1 + n, greater<int>());  // 从大到小排序
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struct data {
  int a, b;

  bool operator<(const data rhs) const {
    return (a == rhs.a) ? (b < rhs.b) : (a < rhs.a);
  }
} da[1009];

bool cmp(const data u1, const data u2) {
  return (u1.a == u2.a) ? (u1.b > u2.b) : (u1.a > u2.a);
}

// ...
std::sort(da + 1, da + 1 + 10);  // 使用结构体中定义的 < 运算符,从小到大排序
std::sort(da + 1, da + 1 + 10, cmp);  // 使用 cmp 函数进行比较,从大到小排序

严格弱序

参见:Strict weak orderings

进行排序的运算符必须满足严格弱序,否则会出现不可预料的情况(如运行时错误、无法正确排序)。

严格弱序的要求:

  1. x \not< x (非自反性)
  2. x < y ,则 y \not< x (非对称性)
  3. x < y, y < z ,则 x < z (传递性)
  4. x \not< y, y \not< x, y \not< z, z \not< y ,则 x \not< z, z \not< x (不可比性的传递性)

常见的错误做法:

  • 使用 <= 来定义排序中的小于运算符。
  • 在调用排序运算符时,读取外部数值可能会改变的数组(常见于最短路算法)。
  • 将多个数的最大最小值进行比较的结果作为排序运算符(如皇后游戏/加工生产调度 中的经典错误)。

外部链接

参考资料与注释


  1. 因为大部分标准算法默认使用 operator< 进行比较。 


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