数论基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

整除

定义

设 $a, b \in Z$ ， $a \neq 0$ 。如果 $\exists q \in Z$ ，使得 $b = a q$ ，那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a ∣ b$ ； $b$ 不被 $a$ 整除记作 $a ∤ b$ 。

整除的性质：

$a ∣ b ⟺ - a ∣ b ⟺ a ∣ - b ⟺ | a | ∣ | b |$
$a ∣ b \land b ∣ c ⟹ a ∣ c$
$a ∣ b \land a ∣ c ⟺ \forall x, y \in Z, a ∣ (x b + y c)$
$a ∣ b \land b ∣ a ⟹ b = \pm a$
设 $m \neq 0$ ，那么 $a ∣ b ⟺ m a ∣ m b$ 。
设 $b \neq 0$ ，那么 $a ∣ b ⟹ | a | \leq | b |$ 。
设 $a \neq 0, b = q a + c$ ，那么 $a ∣ b ⟺ a ∣ c$ 。

约数

定义

若 $a ∣ b$ ，则称 $b$ 是 $a$ 的倍数， $a$ 是 $b$ 的约数。

$0$ 是所有非 $0$ 整数的倍数。对于整数 $b \neq 0$ ， $b$ 的约数只有有限个。

平凡约数（平凡因数）：对于整数 $b \neq 0$ ， $\pm 1$ 、 $\pm b$ 是 $b$ 的平凡约数。当 $b = \pm 1$ 时， $b$ 只有两个平凡约数。

对于整数 $b \neq 0$ ， $b$ 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。

约数的性质：

设整数 $b \neq 0$ 。当 $d$ 遍历 $b$ 的全体约数的时候， $\frac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体约数。
设整数 $b > 0$ ，则当 $d$ 遍历 $b$ 的全体正约数的时候， $\frac{b}{d}$ 也遍历 $b$ 的全体正约数。

在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。

带余数除法

余数

设 $a, b$ 为两个给定的整数， $a \neq 0$ 。设 $d$ 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 $q$ 和 $r$ ，满足 $b = q a + r, d \leq r < | a | + d$ 。

无论整数 $d$ 取何值， $r$ 统称为余数。 $a ∣ b$ 等价于 $a ∣ r$ 。

一般情况下， $d$ 取 $0$ ，此时等式 $b = q a + r, 0 \leq r < | a |$ 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 $r$ 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

绝对最小余数： $d$ 取 $a$ 的绝对值的一半的相反数。即 $b = q a + r, - \frac{| a |}{2} \leq r < | a | - \frac{| a |}{2}$ 。
最小正余数： $d$ 取 $1$ 。即 $b = q a + r, 1 \leq r < | a | + 1$ 。

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

任一整数被正整数 $a$ 除后，余数一定是且仅是 $0$ 到 $(a - 1)$ 这 $a$ 个数中的一个。
相邻的 $a$ 个整数被正整数 $a$ 除后，恰好取到上述 $a$ 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 $a$ 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见最大公约数。

Warning

一些作者认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数无定义，其余作者一般将其视为 $0$ 。C++ STL 的实现中采用后者，即认为 $0$ 和 $0$ 的最大公约数为 $0$ ⁴。

最大公约数有如下性质：

$(a_{1}, \dots, a_{n}) = (| a_{1} |, \dots, | a_{n} |)$ ；
$(a, b) = (b, a)$ ；
若 $a \neq 0$ ，则 $(a, 0) = (a, a) = | a |$ ；
$(b q + r, b) = (r, b)$ ；
$(a_{1}, \dots, a_{n}) = ((a_{1}, a_{2}), a_{3}, \dots, a_{n})$ 。进而 $\forall 1 < k < n - 1, (a_{1}, \dots, a_{n}) = ((a_{1}, \dots, a_{k}), (a_{k + 1}, \dots, a_{n}))$ ；
对不全为 $0$ 的整数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 和非零整数 $m$ ， $(m a_{1}, \dots, m a_{n}) = | m | (a_{1}, \dots, a_{n})$ ；
对不全为 $0$ 的整数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ ，若 $(a_{1}, \dots, a_{n}) = d$ ，则 $(a_{1} / d, \dots, a_{n} / d) = 1$ ；
$(a^{n}, b^{n}) = (a, b)^{n}$ 。

最大公约数还有如下与互素相关的性质：

若 $b | a c$ 且 $(a, b) = 1$ ，则 $b ∣ c$ ；
若 $b | c$ 、 $a | c$ 且 $(a, b) = 1$ ，则 $a b ∣ c$ ；
若 $(a, b) = 1$ ，则 $(a, b c) = (a, c)$ ；
若 $(a_{i}, b_{j}) = 1, \forall 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m$ ，则 $(\prod_{i} a_{i}, \prod_{j} b_{j}) = 1$ 。特别地，若 $(a, b) = 1$ ，则 $(a^{n}, b^{m}) = 1$ ；
对整数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ ，若 $\exists v \in Z, \prod_{i} a_{i} = v^{m}$ ，且 $(a_{i}, a_{j}) = 1, \forall i \neq j$ ，则 $\forall 1 \leq i \leq n, \sqrt[m]{a_{i}} \in Z$ 。

最小公倍数有如下性质：

$[a_{1}, \dots, a_{n}] = [| a_{1} |, \dots, | a_{n} |]$ ；
$[a, b] = [b, a]$ ；
若 $a \neq 0$ ，则 $[a, 1] = [a, a] = | a |$ ；
若 $a ∣ b$ ，则 $[a, b] = | b |$ ；
$[a_{1}, \dots, a_{n}] = [[a_{1}, a_{2}], a_{3}, \dots, a_{n}]$ 。进而 $\forall 1 < k < n - 1, [a_{1}, \dots, a_{n}] = [[a_{1}, \dots, a_{k}], [a_{k + 1}, \dots, a_{n}]]$ ；
若 $a_{i} ∣ m, \forall 1 \leq i \leq n$ ，则 $[a_{1}, \dots, a_{n}] ∣ m$ ；
$[m a_{1}, \dots, m a_{n}] = | m | [a_{1}, \dots, a_{n}]$ ；
$[a, b, c] [a b, b c, c a] = [a, b] [b, c] [c, a]$ ；
$[a^{n}, b^{n}] = [a, b]^{n}$ 。

最大公约数和最小公倍数可以组合出很多奇妙的等式，如：

$(a, b) [a, b] = | a b |$ ；
$(a b, b c, c a) [a, b, c] = | a b c |$ ；
$\frac{(a, b, c)^{2}}{(a, b) (b, c) (a, c)} = \frac{[a, b, c]^{2}}{[a, b] [b, c] [a, c]}$ 。

这些性质均可通过定义或唯一分解定理证明，其中使用唯一分解定理的证明更容易理解。

互素

定义

若 $(a_{1}, a_{2}) = 1$ ，则称 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 互素（既约）。

若 $(a_{1}, \dots, a_{k}) = 1$ ，则称 $a_{1}, \dots, a_{k}$ 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 $6$ 、 $10$ 和 $15$ 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见裴蜀定理。

辗转相除法

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见最大公约数。

素数与合数

关于素数的算法见素数。

定义

设整数 $p \neq 0, \pm 1$ 。如果 $p$ 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 $p$ 为素数（不可约数）。

若整数 $a \neq 0, \pm 1$ 且 $a$ 不是素数，则称 $a$ 为合数。

$p$ 和 $- p$ 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

大于 $1$ 的整数 $a$ 是合数，等价于 $a$ 可以表示为整数 $d$ 和 $e$ （ $1 < d, e < a$ ）的乘积。
如果素数 $p$ 有大于 $1$ 的约数 $d$ ，那么 $d = p$ 。
大于 $1$ 的整数 $a$ 一定可以表示为素数的乘积。
对于合数 $a$ ，一定存在素数 $p \leq \sqrt{a}$ 使得 $p ∣ a$ 。
素数有无穷多个。
所有大于 $3$ 的素数都可以表示为 $6 n \pm 1$ 的形式⁵。

算术基本定理

算术基本引理

设 $p$ 是素数， $p ∣ a_{1} a_{2}$ ，那么 $p ∣ a_{1}$ 和 $p ∣ a_{2}$ 至少有一个成立。

算术基本引理的逆命题稍加修改也可以得到素数的另一种定义。

素数的另一种定义

对整数 $p \neq 0, \pm 1$ ，若对任意满足 $p ∣ a_{1} a_{2}$ 的整数 $a_{1}, a_{2}$ 均有 $p ∣ a_{1}$ 或 $p ∣ a_{2}$ 成立，则称 $p$ 是素数。

Tip

这个定义的动机可以从素理想中找到。

算术基本定理（唯一分解定理）

设正整数 $a$ ，那么必有表示：

a = p_{1} p_{2} \dots p_{s}

其中 $p_{j} (1 \leq j \leq s)$ 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

a = {p_{1}}^{α_{1}} {p_{2}}^{α_{2}} \dots {p_{s}}^{α_{s}}, p_{1} < p_{2} < \dots < p_{s}

称为正整数 $a$ 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

定义

设整数 $m \neq 0$ 。若 $m ∣ (a - b)$ ，称 $m$ 为模数（模）， $a$ 同余于 $b$ 模 $m$ ， $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余。记作 $a \equiv b (\mod m)$ 。

否则， $a$ 不同余于 $b$ 模 $m$ ， $b$ 不是 $a$ 对模 $m$ 的剩余。记作 $a ≢ b (\mod m)$ 。

这样的等式，称为模 $m$ 的同余式，简称 同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 $a \equiv b (\mod (- m))$ 。

后文中，如果没有特别说明，模数总是 正整数。

式中的 $b$ 是 $a$ 对模 $m$ 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 $b$ 的范围，相应的有 $a$ 对模 $m$ 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

同余是等价关系，即同余具有
- 自反性： $a \equiv a (\mod m)$ 。
- 对称性：若 $a \equiv b (\mod m)$ ，则 $b \equiv a (\mod m)$ 。
- 传递性：若 $a \equiv b (\mod m), b \equiv c (\mod m)$ ，则 $a \equiv c (\mod m)$ 。
线性运算：若 $a, b, c, d \in Z, m \in N^{*}, a \equiv b (\mod m), c \equiv d (\mod m)$ $a,b,c,d\in\mathbf{Z},m\in\mathbf{N}^*,a\equiv b\pmod m,c\equiv d\pmod m$ 则有：
- $a \pm c \equiv b \pm d (\mod m)$ 。
- $a \times c \equiv b \times d (\mod m)$ 。
设 $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ 和 $g (x) = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}$ 是两个整系数多项式， $m \in N^{*}$ ，且 $a_{i} \equiv b_{i} (\mod m), 0 \leq i \leq n$ ，则对任意整数 $x$ 均有 $f (x) \equiv g (x) (\mod m)$ 。进而若 $s \equiv t (\mod m)$ ，则 $f (s) \equiv g (t) (\mod m)$ 。
若 $a, b \in Z, k, m \in N^{*}, a \equiv b (\mod m)$ , 则 $a k \equiv b k (\mod m k)$ 。
若 $a, b \in Z, d, m \in N^{*}, d ∣ a, d ∣ b, d ∣ m$ ，则当 $a \equiv b (\mod m)$ 成立时，有 $\frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} (mod \frac{m}{d})$ 。
若 $a, b \in Z, d, m \in N^{*}, d ∣ m$ ，则当 $a \equiv b (\mod m)$ 成立时，有 $a \equiv b (\mod d)$ 。
若 $a, b \in Z, d, m \in N^{*}$ ，则当 $a \equiv b (\mod m)$ 成立时，有 $(a, m) = (b, m)$ 。若 $d$ 能整除 $m$ 及 $a, b$ 中的一个，则 $d$ 必定能整除 $a, b$ 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。见乘法逆元。

C/C++ 的整数除法和取模运算

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

当除数为 0 时，行为未定义；
否则 (a / b) * b + a % b 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C99¹和 C++11²标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

5 % 3 == 2;
5 % -3 == 2;
-5 % 3 == -2;
-5 % -3 == -2;

快速乘

在素性测试与质因数分解中，经常会遇到模数在 long long 范围内的乘法取模运算。为了避免运算中的整型溢出问题，本节介绍一种可以处理模数在 long long 范围内，不需要使用 __int128 且复杂度为 $O (1)$ 的「快速乘」。

我们发现：

a \times b mod m = a \times b - ⌊ \frac{a b}{m} ⌋ \times m

我们巧妙运用 unsigned long long 的自然溢出：

a \times b mod m = a \times b - ⌊ \frac{a b}{m} ⌋ \times m = (a \times b - ⌊ \frac{a b}{m} ⌋ \times m) mod 2^{64}

于是在算出 $⌊ \frac{a b}{m} ⌋$ 后，两边的乘法和中间的减法部分都可以使用 unsigned long long 直接计算，现在我们只需要解决如何计算 $⌊ \frac{a b}{m} ⌋$ 。

我们考虑先使用 long double 算出 $\frac{a}{m}$ 再乘上 $b$ 。

既然使用了 long double，就无疑会有精度误差。极端情况就是第一个有效数字（二进制下）在小数点后一位。在 64 位系统中，long double 通常表示为 $80$ 位扩展精度浮点数（即符号为 $1$ 位，指数为 $15$ 位，尾数为 $64$ 位），所以 long double 最多能精确表示的有效位数为 $64$ ³。所以 $\frac{a}{m}$ 最差从第 $65$ 位开始出错，误差范围为 $(- 2^{- 64}, 2^{- 64})$ 。乘上 $b$ 这个 $64$ 位整数，误差范围为 $(- 0.5, 0.5)$ ，再加上 $0.5$ 误差范围为 $(0, 1)$ ，取整后误差范围位 ${0, 1}$ 。于是乘上 $- m$ 后，误差范围变成 ${0, - m}$ ，我们需要判断这两种情况。

因为 $m$ 在 long long 范围内，所以如果计算结果 $r$ 在 $[0, m)$ 时，直接返回 $r$ ，否则返回 $r + m$ ，当然你也可以直接返回 $(r + m) mod m$ 。

代码实现如下：

long long binmul(long long a, long long b, long long m) {
  unsigned long long c =
      (unsigned long long)a * b -
      (unsigned long long)((long double)a / m * b + 0.5L) * m;
  if (c < m) return c;
  return c + m;
}

如今，绝大多数测评系统所配备的 C/C++ 编译器已支持 __int128 类型，因此也可以利用 Barrett Reduction 进行快速乘。之所以不直接将乘数类型提升至 __int128 后取模计算是因为此方法仍然可以节省一次时间可观的 __int128 类型取模。

同余类与剩余系

为方便讨论，对集合 $A, B$ 和元素 $r$ ，我们引入如下记号：

$r + A := {r + a : a \in A}$ ；
$r A := {r a : a \in A}$ ；
$A + B := {a + b : a \in A, b \in B}$ ；
$A B := {a b : a \in A, b \in B}$ 。

同余类

对非零整数 $m$ ，把全体整数分成 $| m |$ 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 $m$ 均同余，我们把这 $| m |$ 个集合均称为模 $m$ 的 同余类 或 剩余类。用 $r mod m$ 表示含有整数 $r$ 的模 $m$ 的同余类。

不难证明对任意非零整数 $m$ ，上述划分方案一定存在且唯一。

由同余类的定义可知：

$r mod m = {r + k m : k \in Z}$ ；
$r mod m = s mod m ⟺ r \equiv s (\mod m)$ ；
对任意 $r, s \in Z$ ，要么 $r mod m = s mod m$ ，要么 $(r mod m) \cap (s mod m) = \emptyset$ ；
若 $m_{1} ∣ m$ ，则对任意整数 $r$ 均有 $r + m Z \subseteq r + m_{1} Z$ 。

注意到同余是等价关系，所以同余类即为同余关系的等价类。

我们把模 $m$ 的同余类全体构成的集合记为 $Z_{m}$ ，即

Z_{m} := {r mod m : 0 \leq r < m}

不难发现：

对任意整数 $a$ ， $a + Z_{m} = Z_{m}$ ；
对任意与 $m$ 互质的整数 $b$ ， $b Z_{m} = Z_{m}$ 。

由商群的定义可知 $Z_{m} = Z / m Z$ ，所以有时我们也会用 $Z / m Z$ 表示 $Z_{m}$ 。

由抽屉原理可知：

任取 $m + 1$ 个整数，必有两个整数模 $m$ 同余。
存在 $m$ 个两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出完全剩余系的定义：

（完全）剩余系

对 $m$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ ，若对任意的数 $x$ ，有且仅有一个数 $a_{i}$ 使得 $x$ 与 $a_{i}$ 模 $m$ 同余，则称这 $m$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 为模 $m$ 的 完全剩余系，简称 剩余系。

我们还可以定义模 $m$ 的：

最小非负（完全）剩余系： $0, \dots, m - 1$ ；
最小正（完全）剩余系： $1, \dots, m$ ；
绝对最小（完全）剩余系： $- ⌊ m / 2 ⌋, \dots, - ⌊ - m / 2 ⌋ - 1$ ；
最大非正（完全）剩余系： $- m + 1, \dots, 0$ ；
最大负（完全）剩余系： $- m, \dots, - 1$ 。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系。

我们注意到如下命题成立：

在模 $m$ 的任意一个同余类中，任取两个整数 $a_{1}, a_{2}$ 均有 $(a_{1}, m) = (a_{2}, m)$ 。

考虑同余类 $r mod m$ ，若 $(r, m) = 1$ ，则该同余类的所有元素均与 $m$ 互质，这说明我们也许可以通过类似方式得知所有与 $m$ 互质的整数构成的集合的结构。

既约同余类

对同余类 $r mod m$ ，若 $(r, m) = 1$ ，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类。

我们把模 $m$ 既约剩余类的个数记作 $φ (m)$ ，称其为 Euler 函数。

我们把模 $m$ 的既约同余类全体构成的集合记为 $Z_{m}^{*}$ ，即

Z_{m}^{*} := {r mod m : 0 \leq r < m, (r, m) = 1}

Warning

对于任意的整数 $a$ 和与 $m$ 互质的整数 $b$ ， $b Z_{m}^{*} = Z_{m}^{*}$ ，但是 $a + Z_{m}^{*}$ 不一定为 $Z_{m}^{*}$ 。这一点与 $Z_{m}$ 不同。

由抽屉原理可知：

任取 $φ (m) + 1$ 个与 $m$ 互质的整数，必有两个整数模 $m$ 同余。
存在 $φ (m)$ 个与 $m$ 互质且两两模 $m$ 不同余的整数。

由此我们给出既约剩余系的定义：

既约剩余系

对 $t = φ (m)$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{t}$ ，若 $(a_{i}, m) = 1, \forall 1 \leq i \leq t$ ，且对任意满足 $(x, m) = 1$ 的数 $x$ ，有且仅有一个数 $a_{i}$ 使得 $x$ 与 $a_{i}$ 模 $m$ 同余，则称这 $t$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{t}$ 为模 $m$ 的 既约剩余系、缩剩余系 或 简化剩余系。

类似地，我们也可以定义最小非负既约剩余系等概念。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负既约剩余系。

剩余系的复合

对正整数 $m$ ，我们有如下定理：

若 $m = m_{1} m_{2}, 1 \leq m_{1}, m_{2}$ ，令 $Z_{m_{1}}, Z_{m_{2}}$ 分别为模 $m_{1}, m_{2}$ 的完全剩余系，则对任意与 $m_{1}$ 互质的 $a$ 均有：
$Z_{m} = a Z_{m_{1}} + m_{1} Z_{m_{2}} .$
为模 $m$ 的完全剩余系。进而，若 $m = \prod_{i = 1}^{k} m_{i}, 1 \leq m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}$ ，令 $Z_{m_{1}}, \dots, Z_{m_{k}}$ 分别为模 $m_{1}, \dots, m_{k}$ 的完全剩余系，则：
$Z_{m} = \sum_{i = 1}^{k} (\prod_{j = 1}^{i - 1} m_{j}) Z_{m_{i}} .$
为模 $m$ 的完全剩余系。

证明

只需证明对任意满足 $a x + m_{1} y \equiv a x^{'} + m_{1} y^{'} (\mod m_{1} m_{2})$ 的 $x, x^{'} \in Z_{m_{1}}$ ， $y, y^{'} \in Z_{m_{2}}$ ，都有：

a x + m_{1} y = a x^{'} + m_{1} y^{'} .

实际上，由 $m_{1} ∣ m_{1} m_{2}$ ，我们有 $a x + m_{1} y \equiv a x^{'} + m_{1} y^{'} (\mod m_{1})$ ，进而 $a x \equiv a x^{'} (\mod m_{1})$ ，由 $(a, m_{1}) = 1$ 可知 $x \equiv x^{'} (\mod m_{1})$ ，进而有 $x = x^{'}$ 。

进一步， $m_{1} y \equiv m_{1} y^{'} (\mod m_{1} m_{2})$ ，则 $y \equiv y^{'} (\mod m_{2})$ ，即 $y = y^{'}$ 。

因此，

a x + m_{1} y = a x^{'} + m_{1} y^{'} .

若 $m = m_{1} m_{2}, 1 \leq m_{1}, m_{2}, (m_{1}, m_{2}) = 1$ ，令 $Z_{m_{1}}^{*}, Z_{m_{2}}^{*}$ 分别为模 $m_{1}, m_{2}$ 的既约剩余系，则：
$Z_{m}^{*} = m_{2} Z_{m_{1}}^{*} + m_{1} Z_{m_{2}}^{*} .$
为模 $m$ 的既约剩余系。

Tip

该定理等价于证明 Euler 函数为积性函数。

证明

令 $Z_{m_{1}}, Z_{m_{2}}$ 分别为模 $m_{1}, m_{2}$ 的完全剩余系，我们已经证明了

Z_{m} = m_{2} Z_{m_{1}} + m_{1} Z_{m_{2}}

为模 $m$ 的完全剩余系。令 $M = {a \in Z_{m} : (a, m) = 1} \subseteq Z_{m}$ ，显然 $M$ 为模 $m$ 的既约剩余系，所以我们只需证明 $M = Z_{m}^{*}$ 即可。

显然 $Z_{m}^{*} \subseteq Z_{m}$ 。

任取 $m_{2} x + m_{1} y \in M$ ，其中 $x \in Z_{m_{1}}$ 且 $y \in Z_{m_{2}}$ ，有 $(m_{2} x + m_{1} y, m_{1} m_{2}) = 1$ ，由 $(m_{1}, m_{2}) = 1$ 可得

1 = (m_{2} x + m_{1} y, m_{1}) = (m_{2} x, m_{1}) = (x, m_{1}),

1 = (m_{2} x + m_{1} y, m_{2}) = (m_{1} y, m_{2}) = (y, m_{2}) .

因此可得 $x \in Z_{m_{1}}^{*}$ 且 $y \in Z_{m_{2}}^{*}$ ，即 $M \subseteq Z_{m}^{*}$ 。

任取 $m_{2} x + m_{1} y \in Z_{m}^{*}$ ，其中 $x \in Z_{m_{1}}^{*}$ 且 $y \in Z_{m_{2}}^{*}$ ，有 $(x, m_{1}) = 1$ 且 $(y, m_{2}) = 1$ ，由 $(m_{1}, m_{2}) = 1$ 可得

(m_{2} x + m_{1} y, m_{1}) = (m_{2} x, m_{1}) = (x, m_{1}) = 1,

(m_{2} x + m_{1} y, m_{2}) = (m_{1} y, m_{2}) = (x, m_{2}) = 1,

因此可得 $(m_{2} x + m_{1} y, m_{1} m_{2}) = 1$ ，即 $Z_{m}^{*} \subseteq M$ 。

综上所述，

Z_{m}^{*} = m_{2} Z_{m_{1}}^{*} + m_{1} Z_{m_{2}}^{*} .

为模 $m$ 的既约剩余系。

数论函数

数论函数（也称算术函数）指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

在数论中，若函数 $f (n)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且 $f (x y) = f (x) f (y)$ 对任意互质的 $x, y \in N^{*}$ 都成立，则 $f (n)$ 为 积性函数。

在数论中，若函数 $f (n)$ 满足 $f (1) = 1$ 且 $f (x y) = f (x) f (y)$ 对任意的 $x, y \in N^{*}$ 都成立，则 $f (n)$ 为 完全积性函数。

性质

若 $f (x)$ 和 $g (x)$ 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

\begin{aligned} h (x) & = f (x^{p}) \\ h (x) & = f^{p} (x) \\ h (x) & = f (x) g (x) \\ h (x) & = \sum_{d ∣ x} f (d) g (\frac{x}{d}) \end{aligned}

对正整数 $x$ ，设其唯一质因数分解为 $x = \prod p_{i}^{k_{i}}$ ，其中 $p_{i}$ 为质数。

若 $F (x)$ 为积性函数，则有 $F (x) = \prod F (p_{i}^{k_{i}})$ 。

若 $F (x)$ 为完全积性函数，则有 $F (x) = \prod F (p_{i}^{k_{i}}) = \prod F (p_{i})^{k_{i}}$ 。

例子

单位函数： $ε (n) = [n = 1]$ 。（完全积性）
恒等函数： ${id}_{k} (n) = n^{k}$ ， ${id}_{1} (n)$ 通常简记作 $id (n)$ 。（完全积性）
常数函数： $1 (n) = 1$ 。（完全积性）
除数函数： $σ_{k} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k}$ 。 $σ_{0} (n)$ 通常简记作 $d (n)$ 或 $τ (n)$ ， $σ_{1} (n)$ 通常简记作 $σ (n)$ 。
欧拉函数： $φ (n) = \sum_{i = 1}^{n} [(i, n) = 1]$ 。
莫比乌斯函数： $μ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & \exists d > 1, d^{2} ∣ n \\ (- 1)^{ω (n)} & otherwise \end{cases}$ ，其中 $ω (n)$ 表示 $n$ 的本质不同质因子个数。

加性函数

定义

在数论中，若函数 $f (n)$ 满足 $f (1) = 0$ 且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 对任意互质的 $x, y \in N^{*}$ 都成立，则 $f (n)$ 为 加性函数。

在数论中，若函数 $f (n)$ 满足 $f (1) = 0$ 且 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 对任意的 $x, y \in N^{*}$ 都成立，则 $f (n)$ 为 完全加性函数。

加性函数

本节中的加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)，应与代数中的 Additive map 做区分。

性质

对正整数 $x$ ，设其唯一质因数分解为 $x = \prod p_{i}^{k_{i}}$ ，其中 $p_{i}$ 为质数。

若 $F (x)$ 为加性函数，则有 $F (x) = \sum F (p_{i}^{k_{i}})$ 。

若 $F (x)$ 为完全加性函数，则有 $F (x) = \sum F (p_{i}^{k_{i}}) = \sum F (p_{i}) \cdot k_{i}$ 。

例子

为方便叙述，令所有质数组成的集合为 $P$ .

所有质因子数目： $Ω (n) = \sum_{p ∣ n} [p \in P] \sum_{k = 1}^{⌈ \log_{p} n ⌉} [p^{k} ∣ n \land p^{k + 1} ∤ n] \cdot k$ 。（完全加性）
相异质因子数目： $ω (n) = \sum_{p ∣ n} [p \in P]$ 。
所有质因子之和： $a_{0} (n) = \sum_{p ∣ n} [p \in P] \sum_{k = 1}^{⌈ \log_{p} n ⌉} [p^{k} ∣ n \land p^{k + 1} ∤ n] \cdot k p$ 。（完全加性）
相异质因子之和： $a_{1} (n) = \sum_{p ∣ n} [p \in P] \cdot p$ 。

参考资料与注释

潘承洞，潘承彪。初等数论。北京大学出版社。

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